数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（　　） A.2n-1 B.n•2n-n C.2n+1-n D.2n+1-2-n

题目

数列1，（1+2），（1+2+2²），…，（1+2+2²+…+2^n-1）…的前n项和为（　　）
A. 2ⁿ-1
B. n•2ⁿ-n
C. 2ⁿ⁺¹-n
D. 2ⁿ⁺¹-2-n

答案

∵1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1−2n)

1−2

=2ⁿ-1
∴数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）
=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n
=

2(1−2n)

1−2

−n=2ⁿ⁺¹-2-n
故选D