通项an=n,数列（bn）的前n项和为Sn,且Sn+bn=2,求bn的通项公式 令数列Cn=an*bn,求其前n项和Tn

题目

通项an=n,数列（bn）的前n项和为Sn,且Sn+bn=2,求bn的通项公式 令数列Cn=an*bn,求其前n项和Tn

答案

∵Sn＋bn＝2 Sn－Sn-1＝bn ∴2Sn－Sn-1＝2 ∴2(Sn－2)＝Sn-1－2
∴﹛Sn－2﹜ 是等比数列 ∴Sn－2＝（S1－2）×（1/2）^(n－1)
∵Sn＋bn＝2 ∴S1＋b1＝2b1＝2 ∴S1＝b1＝1 ∴Sn＝2－(1/2)^(n－1)
∴bn＝2－Sn＝(1/2)^(n－1)
Cn＝an×bn＝n×(1/2)^(n－1)
∴ Tn＝1×(1/2)º＋2×(1/2)¹＋3×(1/2)²＋……＋n×(1/2)^(n－1)
(1/2)×Tn＝ 1×(1/2)¹＋2×(1/2)²＋……＋(n－1)×(1/2)^(n－1)＋n×(1/2)^n
两式相减得：(1/2)×Tn＝(1/2)º＋(1/2)¹＋(1/2)²＋……＋(1/2)^(n－1)－n×(1/2)^n
＝[1－(1/2)^n]×2－n×(1/2)^n
∴Tn＝4[1－(1/2)^n]－2n×(1/2)^n＝4－2(n＋2)×(1/2)^n