在三角形abc中,已知向量AB*向量AC=9,SINB=COSA*SINC,S三角形ABC=6,求三角形ABC的三边长

题目

在三角形abc中,已知向量AB*向量AC=9,SINB=COSA*SINC,S三角形ABC=6,求三角形ABC的三边长

答案

∵AB*AC=|AB|*|AC|*cosA=9
则角A为锐角
又面积S=(1/2)*|AB*|AC|*sinA=6
∴sinA/cosA=4/3 ①
而sin²A+cos²A=1 ②
由①②联系,解得
sinA=4/5,cosA=3/5
∵sinB=cosA*sinC
即sin(A+C)=cosA*sinC
∴sinA*cosC+cosA*sinC=cosA*sinC
∴sinA*cosC=0
则 cosC=0
故 C=π/2
△ABC 是以角C为直角的直角三角形
则 |AC|=|AB|*cosA
∴ (|AB|*cosA)²=9
∴ |AB|=3/cosA=3÷(3/5)=5
∴ |AC|=|AB|*cosA=3
|BC=|AB|*sinA=4