若a＞0且a≠1函数f(x)=a^x+x-4的零点为m函数g(x)=logax+x-4的零点为n,则1/m+2/n的最小值为多少

题目

若a＞0且a≠1函数f(x)=a^x+x-4的零点为m函数g(x)=logax+x-4的零点为n,则1/m+2/n的最小值为多少

答案

由 a^m+m-4=0 得 a^m=4-m ,
由 loga(n)+n-4=0 得 loga(n)=4-n ,
由于函数 y=a^x 、 y=loga(x) 互为反函数,图像关于直线 y=x 对称 ,
而直线 y=4-x 与 y=x 垂直,也关于 y=x 对称 ,
所以 m+n 等于 y=4-x 与 y=x 交点横坐标的 2 倍,
即 m+n=4 ,
又因为 m、n 为正数,所以 1/m+2/n=1/4*(m+n)(1/m+2/n)=1/4*(1+2+n/m+2m/n)>=1/4*(3+2√2) ,
即所求最小值为 (3+2√2)/4 .