过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与这条抛物线交于A.B两点,O为坐标原点

题目

过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与这条抛物线交于A.B两点,O为坐标原点
(1)求三角形AOB的重心G的轨迹方程
(2)当直线L的倾斜角为45度时,求抛物线上一点PAP垂直于BP.

答案

1.设A、B、G坐标为（x1,y1）(x2,y2)（x3,y3） L为y=kx-k (k≠0)
3x3=x1+x2 3y3=y1+y2
将直线方程代入抛物线方程得：
ky^2-4y-4k=0
4(x1+x2)=y1^2+y2^2 =(y1+y2)^2-2y1y2
3y3=4/k
代入化简得：12x3-8=9y3^2
即方程为 12x-8=9y^2
2.设P坐标为（x0,y0）
由已知得：y=x-1 代入抛物线方程为：
y^2-4y-4=0 x^2-6x+1=0
PA⊥PB 所以 (x0-x1)(x0-x2)+(y0-y1)(y0-y2)=0
代入化简得：（x0-1）^2=4(y0+1)
由于P点在抛物线上 代入得
最终结果自己算吧!