如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2-1,直线l:y=-x-2与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M. (1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
题目
如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为
-1,直线
l:y=-x-与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6609c93d70cf3bc77fd7255dd200baa1cc112aa8.jpg)
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/4e4a20a4462309f7cca645a3710e0cf3d6cad6b2.jpg)
(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,若直线l绕点A顺时针匀速旋转,当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切,见图(2)求B
1的坐标以及直线AC绕点A每秒旋转多少度?
(3)若直线l不动,⊙B沿x轴负方向平移过程中,能否与⊙O与直线l同时相切?若相切,说明理由.
答案
(1)直线
l:y=-x-.
当x=0时,y=-
;当y=0,时,x=-
,
所以A(
-,0).
∵C(0,
-),
∴OA=OC,
∵OA⊥OC,
∴∠CAO=45°.
(2)如图,设⊙B平移t秒到⊙B
1处与⊙O第一次相切,
此时,直线l旋转到l
1恰好与⊙B
1第一次相切于点P,⊙B
1与x轴相切于点N,连接B
1O,B
1N.
则MN=t,OB
1=
,B
1N=1,B
1N⊥AN.
∴ON=1,
∴MN=3,即t=3.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/c2fdfc039245d6883ad55a15a7c27d1ed31b24a8.jpg)
连接B
1A,B
1P,则B
1P⊥AP,B
1P=B
1N,
∴∠PAB
1=∠NAB
1.
∵OA=OB
1=
,
∴∠AB
1O=∠NAB
1.
∴∠PAB
1=∠AB
1O.
∴PA∥B
1O.
在Rt△NOB
1中,∠B
1ON=45°,
∴∠PAN=45°,
∴∠1=90°.
∴直线AC绕点A平均每秒旋转90°÷3=30°.
(3)能,假设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B
2,作B
2E⊥AC于E,作OH⊥AC于H.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/6a63f6246b600c33eeb03679194c510fd8f9a1b2.jpg)
∵△OAC为等腰直角三角形,且OA=OC=
,
∴根据勾股定理得到AC=2,
又∵OH⊥AC,
∴OH为斜边AC上的中线,
∴OH=
AC=1,
∴OH=B
2E=1,
∵B
2E⊥l,OH⊥l,
∴B
2E∥OH,
故此时⊙B与圆0与直线l同时相切.
(1)根据直线的解析式,易得AC的坐标,进而可得OA、OC的关系,由三角函数的定义可得∠CAO的大小;
(2)设相切时,MN=t,易得ON,MN的值,进而可得∠AB1O=∠NAB1,故PA∥B1O;易得在Rt△NOB1中,∠1=90°,即可得出答案;
(3)先假设能,且设⊙B与⊙O第二次相切时⊙B的圆心为B2,作B2E⊥AC于E.易得四边形B2EHO为平行四边形,此时⊙B与直线l同时相切.
圆与圆的位置关系;一次函数综合题;直线与圆的位置关系;相切两圆的性质.
本题考查直线与圆的位置关系.要求学生有一定的数形结合的能力,即结合图形分析,进行代数计算,得出答案.
举一反三
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