为什么系数行列式等于零,七次线性方程组就有非零解?

题目

为什么系数行列式等于零,七次线性方程组就有非零解?

答案

为什么系数行列式等于零,七(齐)次线性方程组就有非零解?
以一元线性齐次方程为例：a X = 0 (1)
a ≠ 0 时,(1)只有一个零X = 0,不可能有非零解.
a = 0时,(1)就有无穷多个非零解,因为0乘什么都等于0.
对于n元齐次、线性方程组：
A X = 0 (2)
和(1)类似,系数矩阵 A 的行列式 |A| ≠ 0,就象a ≠ 0那样,(2)只有
一个零解,这是因为(2)的解 Xi 是一个分数：分母是|A| ≠ 0,分子式行列式|A|的第 i 列都是0
因此分子的值为0,Xi ＝0,只有 |A| = 0,(2)才有非零解.