四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且侧面PAD,见补

题目

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且侧面PAD,见补
四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,侧面PAD是边长为2的等边三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E是PC的中点.（1）证明PA∥平面BDE.（2）求PC与底面ABCD所成角的正弦值.

答案

（1）连接BD交AC于O点,则点O是AC的中点,
连结OE,因为E是PC的中点,所以OE是△PAC的中位线,PA∥OE,
因为OE在平面BDC内,所以PA∥平面BDE.
（2）因为侧面PAD⊥底面ABCD,作PF⊥AD于点F,
所以PF⊥底面ABCD,∠PCF就是PC与底面ABCD所成角,
因为菱形ABCD中∠BAD=60°,所以∠ADC=120°,
在△CDF中,CF²=1²+2²-2×1×2cos120°=7,所以CF=√7,
因为△PAD是边长为2的等边三角形,所以PF=√3
在直角△PFC中,PC=√[(√7)²+(√3)²]=√10,
所以sin∠PCF=PF/PC=√3/√10=√30/10
即PC与底面ABCD所成角的正弦值是√30/10.