△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.
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△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.
题目
△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a
2
=b(b+c),求证:A=2B.
答案
证明:由正弦定理可知,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a
2
=b(b+c)中,
得sin
2
A=sinB(sinB+sinC)
∴sin
2
A-sin
2
B=sinBsinC
∴
1−cos2A
2
-
1−cos2B
2
=sinBsin(A+B)
∴
1
2
(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)
∴sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B),
因为A、B、C为三角形的三内角,
所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.
所以只能有A-B=B,即A=2B.
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