1×2×3/3+2×3×4/5+3×4×5/7+...+18×19×20/37=?

题目

1×2×3/3+2×3×4/5+3×4×5/7+...+18×19×20/37=?

答案

这个式子的一般形式是(2n+1)/n(n+1)(n+2)
通过变形可以写成[(2n+2)-1]/n(n+1)(n+2)
=2/n(n+2)-1/n(n+1)(n+2)
=[1/n-1/(n+2)]-1/2*[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
3/(1×2×3)+5/(2×3×4)+7/(3×4×5)+...+37/(18×19×20)
=1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+.1/18-1/20-1/2*[1/2-1/6+1/6-1/12+.1/18*19-1/19*20]
=1+1/2-1/19-1/20-1/2*(1/2-1/19*20)
=873/760