已知A为2n+1阶正交矩阵,且lAl=1,试证A必有特征值1

题目

已知A为2n+1阶正交矩阵,且lAl=1,试证A必有特征值1

答案

证明:因为 A为正交矩阵,所以 AA^T = E.
所以 |A-E|
= |A - AA^T|
= |A(E-A^T)|
= |A||E-A^T|
= |(E-A)^T|
= |E-A|
= |-(A-E)|
= (-1)^(2n+1) |A-E|
= -|A-E|.
所以 |A-E|=0
所以1是A的特征值.