已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）有极大值8． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）求实数a的值．

题目

已知实数a＞0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值8．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求实数a的值．

答案

（Ⅰ）函数的导数为f'（x）=a（x-2）²+2（x-2）ax=3ax²-8ax+4a=3a(x−2)(x−

2

3

)，
因为a＞0，
则由f'（x）＞0，则x＞2或x＜

2

3

，此时函数单调递增，
由f'（x）＜0，则

2

3

＜x＜2，此时函数单调递减．
即函数的单调增区间为（2，+∞）和（-∞，

2

3

）．
函数的单调递减区间为（

2

3

，2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当x=

2

3

时，函数取得极大值，
所以由f（

2

3

）=8得，f(

2

3

)＝

2

3

a(

2

3

−2)2＝

32a

27

＝8，
解得a=

27

4

．

（Ⅰ）然后利用导数求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用函数的极大值确定a的值，

本题考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查函数的单调性，极值与导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．