设A为n阶矩阵,a1,a2,...an为n维列向量,an!=0,Aa1=a2,...Aan=0,求证

题目

设A为n阶矩阵,a1,a2,...an为n维列向量,an!=0,Aa1=a2,...Aan=0,求证
设A为n阶矩阵，a1，a2，...an为n维列向量，an!=0，Aa1=a2，...Aan=0，求证A不能相似对角化

答案

先用线性无关的定义验证 a1,a2,...,an 线性无关
然后记 X=[a1,a2,...,an],那么 X 是非奇异矩阵且满足 X^{-1}AX = J,其中
J=
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
是下三角形式的 Jordan 标准型