已知曲线y=f（x）过点（0,-1/2）,且在其上任意点（x,y）处的切线斜率为xln（1+x²）,则f（x）=?

题目

已知曲线y=f（x）过点（0,-1/2）,且在其上任意点（x,y）处的切线斜率为xln（1+x²）,则f（x）=?

答案

f(x)=∫xln(1+x^2)dx
=1/2∫ln(1+x^2)d(1+x^2)
=1/2*(1+x^2)[ln(1+x^2)-1]+C
(C为积分常数)
f(x)过点(0,-1/2),
以此点代入上式得,C=0.
∴f(x)=1/2*(1+x^2)[ln(1+x^2)-1].