矩阵的特征多项式的展开式是什么形式?是如何推出的?需要具体的过程

题目

矩阵的特征多项式的展开式是什么形式?是如何推出的?需要具体的过程
如题:设是3项
|λE-A|=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)
| λ-a11 -a12 -a13 |
| -a21 λ-a22 -a23 | =(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)
| -a31 -a32 λ-a33 |
以下形式是如何展开的.
λ3 -(a11+a22+a33)λ2- )λ -|A| = λ3- (λ1+λ2+λ3)λ2 - ) λ - λ1 X λ2 Xλ3
λ一次项的系数是多少?λ各项的系数是如何推出的?推广到n阶矩阵的展开式形式是怎样的?

答案

你这个应该是可以应用到更高阶的,无需假定是3阶,可以假定到n阶
因为对称多项式一定有n个根（重根按重数算）故可将特征多项式设为.
|λE-A|==(λ-λ1)(λ-λ2)...(λ-λn)
这个里面,较易求出的有λ^n,λ^(n-1),以及常数项这三个的系数,至于其他的并不具备代表性一般不做研究,只有特殊场合才会偶尔考虑.
λ^n左边右边的系数显然都为1,（主要看左边,右边实际上是应为左边去了1,才取1的）,注意到左边的行列式中只有(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^n,故系数为1
λ^(n-1)的系数,注意左边(λ-a11)(λ-a22)...(λ-ann)这个加项中才有λ^(n-1),因为行列式定义式中每个加项都是不同行不同列元素的乘积,少了一个(λ-aii)就必须还要少一个,那么其他的加项最多只有n-2次,注意到他λ^(n-1)的系数为a11+a22+...+ann（这个称为矩阵的迹,附带说下,只要相似矩阵迹相同,无论是否可对角化）,接下来,看右边,右边比较好看显然λ^(n-1)的系数为所有特征值的和.
这就有个很重要的结论,矩阵的迹等于所有特征值的和（这个依赖他有n个特征值）
还有就是常数项了,这个也比较简单,两边令λ=0结果就是常数项了.
易得另一个重要结论,矩阵的行列式等于所欲特征值的乘积（这个也依赖他有n个特征值）
本题是特殊情况,很容易理解,另外不要去追求λ的系数,意义不大.