已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值.(Ⅰ)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对x∈[-2,3],不等式f(x)+3/2c
题目
已知函数f(x)=x
3+ax
2+bx+c在x=-1与x=2处都取得极值.
(Ⅰ)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对x∈[-2,3],不等式f(x)+
c<c
2恒成立,求c的取值范围.
答案
(Ⅰ)f′(x)=3x
2+2ax+b,
由题意:
即
解得
∴
f(x)=x3-x2-6x+c,f′(x)=3x
2-3x-6
令f′(x)<0,解得-1<x<2;
令f′(x)>0,解得x<-1或x>2,
∴f(x)的减区间为(-1,2);增区间为(-∞,-1),(2,+∞).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在(-∞,-1)上单调递增;
在(-1,2)上单调递减;在(2,+∞)上单调递增.
∴x∈[-2,3]时,f(x)的最大值即为f(-1)与f(3)中的较大者.
f(-1)=+c;
f(3)=-+c∴当x=-1时,f(x)取得最大值.
要使
f(x)+c<c2,只需
c2>f(-1)+c,即:2c
2>7+5c
解得:c<-1或
c>.
∴c的取值范围为
(-∞,-1)∪(,+∞).
(1)求出f′(x)并令其=0得到方程,把x=-1和x=2代入求出a、b即可;
(2)求出函数的最大值为f(-1),要使不等式恒成立,既要证f(-1)+
c<c
2,即可求出c的取值范围.
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性;不等式的证明.
考查学生利用导数求函数极值的能力,利用导数研究函数单调性的能力,以及掌握不等式的证明方法.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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