设a,b,c为△ABC的三边,求方程 x^2 +2ax +b^2 =0与 x^2 +2cx - b^2 =0有公共根的充要条件

题目

设a,b,c为△ABC的三边,求方程 x^2 +2ax +b^2 =0与 x^2 +2cx - b^2 =0有公共根的充要条件

答案

设m是两方程的公共根
则m^2+2am+b^2=0
m^2+2cm-b^2=0
两式相加得
2m^2+2am+2cm=0
2m(m+a+c)=0
所以m=0或m+a+c=0
若m=0,带回得b^2=0 b=0（不符合题意,三角形三边长围正数）
所以m+a+c=0 即m=-a-c
带回得(-a-c)^2+2a(-a-c)+b^2=0
整理得c^2+b^2-a^2=0
所以充要条件为三角形ABC为直角三角形,且A=90°