已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率是e=e=√2/2,经过抛物线x^2=4y的焦点.
题目
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率是e=e=√2/2,经过抛物线x^2=4y的焦点.
若过点B(2,0)的直线L(斜率不等于零)与椭圆交于不同的两点E,F(E在B,F之间)试求△OBE与△OBF的面积之比的取值范围.
答案
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆离心率是e=√2/2,经过抛物线x^2=4y的焦点.
解得 a=√2,b=1,c=1,
∴所求椭圆的方程为 x²/2+y²=1,
知l的斜率存在且不为零,
设l方程为y=k(x-2)(k≠0)=1
x²/2+y²=1,得
(2k²+1)x2-8k²•x+(8k²-2)=0,由△>0得 0<k²<1/2.
设E(x1,y1)、F(x2,y2),x1+x2=8k²/2k²+1,x1x2=8k²-2/2k²+1,
令 λ=S△OBES△OBF,
BE=λ•BF,λ=x1-2/x2-2,且0<λ<1.
(x1-2)+(x2-2)=-4/1+2k²,
(x1-2)•(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=2/1+2k².
∴ λ/(1+λ)²=2k²+1/8,
k²=4λ(1+λ)²-1/2.
∵ 0<k²<1/2,∴ 0<4λ/(1+λ)²-1/2<1/2,
3-2√2<λ<3+2√2.
又∵0<λ<1,∴ 3-2√2<λ<1,
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是( 3-2√2,1).
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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