四面体P-ABC中,已知PA=3,PB=PC=2,角APB=角BPC=角CPA=60°,（1）求证PA⊥BC（2）面PBC垂直面ABC

题目

四面体P-ABC中,已知PA=3,PB=PC=2,角APB=角BPC=角CPA=60°,（1）求证PA⊥BC（2）面PBC垂直面ABC

答案

取BC中点D,连结PD和AD,
PC=PB=2,《CPB=60度,三角形PBC是正三角形,
故PD⊥BC,
〈APB=〈APC=60度,
PC=PB,PA=PA,
△PAC≌△PAB,
AC=AB,
故AD⊥BC,
PD∩AD=D,
BC⊥平面ADP,
AP∈平面APD,
∴PA⊥BC.
2、根据余弦定理,可求出AB=√7,BC=2,BD=1,
根据勾股定理,AD=√6,
PD=√3BD=√3,
AP=3,
AD^2+PD^2=9,
AP^2=9,
根据勾股逆定理,
△ADP是RT△,
由上所知,PD⊥BC,AD⊥BC,
〈ADP=90度,〈ADP是二面角A-BC-P的平面角,
∴平面PBC⊥平面ABC.