证明e是无理数,

题目

证明e是无理数,

答案

我们知道
e=1+1/1!+1/2!+...+1/n!+...(*)
如果是有理数,那么它可以写作e=p/q.把(*)式两边乘q!,
p(q-1)!=q!(1+1/1!+1/2!+...+1/q!)+q![1/(q+1)!+1/(q+2)!+...]
上式的左边是整数,右边第一部分也是整数,所以右边第二部分
R = q![1/(q+1)!+1/(q+2)!+...]
也是应该是整数.可是
R = 1/(q+1)+1/(q+1)(q+2)+1/(q+1)(q+2)(q+3)+1/(q+1)(q+2)(q+3)(q+4)+...
= [1/(q+1)][1+1/(q+2)+1/(q+2)(q+3)+1/(q+2)(q+3)(q+4)+...]
< [1/(q+1)][1+1/(q+1)+1/(q+1)^2 +1/(q+1)^3 +...]
= [1/(q+1)][(q+1)/q]
= 1/q
另外R>0.所以R不能是整数.矛盾,证毕.