假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g″（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试证： （1）在开区间（a，b）内g（x）≠0； （2）在开区间（a，b）内至少存

题目

假设函数f（x）和g（x）在[a，b]上存在二阶导数，并且g″（x）≠0，f（a）=f（b）=g（a）=g（b）=0，试证：
（1）在开区间（a，b）内g（x）≠0；
（2）在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使

f(ξ)

g(ξ)

＝

f″(ξ)

g″(ξ)

答案

证明：（1）假设∃c∈（a，b），使得：g（c）=0，则：g（a）=g（b）=g（c）=0，对g（x）分别在[a，c]和[c，b]上使用罗尔定理，则：∃ξ1∈（a，c），ξ2∈（c，b），使得：g′（ξ1）=g′（ξ2）=0，由于g（x）具有...