A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵

题目

A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵

答案

实对称矩阵A,B,分别存在实对称正定矩阵C,D,使得A＝C^2,B=D^2
则有C'(AB)C=C^-1(CCDD)C=CDDC=C'D'DC=(DC)'DC=E'E
E＝DC可逆,所以C'(AB)C正定,而AB与它相似,AB也正定.