若a为任意实数,试比较a^2+3+4/(a^2+3)与4的大小关系

题目

若a为任意实数,试比较a^2+3+4/(a^2+3)与4的大小关系

答案

令f（a）=a^2+3+4/(a^2+3)-4=a^2+4/(a^2+3)-1,a为任意实数；
f(a)'=2a（1-4/[(a^2+3)^2],令f(a)'=0,由于(a^2+3)>=3,(a^2+3)^2>=9,（1-4/[(a^2+3)^2]>0,得a=0,当a>0时,f(a)递增,当a<0时,f（a）递减,故f（0）为函数的最小值,f（0）=1/3>0,所以f（a）对于任意的a有f（a）>0,所以a^2+3+4/(a^2+3)>4对任意的a恒成立