如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线y=1/4x2交于M(x1,y1)和N(x2,y2)两点(其中x1<0,x2>0). (1)求b的值; (2)求x1•x2的值; (3)分别过M、N
题目
如图所示,过点F(0,1)的直线y=kx+b与抛物线
y=x
答案
(1)∵直线y=kx+b过点F(0,1),∴b=1;
(2)∵直线y=kx+b与抛物线y=
x2交于M(x
1,y
1)和N(x
2,y
2)两点,
∴可以得出:kx+b=
x
2,
整理得:
x
2-kx-1=0,
∵a=
b=-k,c=-1
∴x
1•x
2=
=-4;
(3)①△M
1FN
1是直角三角形(F点是直角顶点).
理由如下:设直线l与y轴的交点是F
1,
FM
12=FF
12+M
1F
12=x
12+4,
FN
12=FF
12+F
1N
12=x
22+4,
M
1N
12=(x
1-x
2)
2=x
12+x
22-2x
1x
2=x
12+x
22+8,
∴FM
12+FN
12=M
1N
12,
∴△M
1FN
1是以F点为直角顶点的直角三角形.
②y=-1和以MN为直径的圆相切,
理由如下:
过M作MH⊥NN
1于H,MN
2=MH
2+NH
2=(x
1-x
2)
2+(y
1-y
2)
2,
=(x
1-x
2)
2+[(kx
1+1)-(kx
2+1)]
2,
=(x
1-x
2)
2+k
2(x
1-x
2)
2,
=(k
2+1)(x
1-x
2)
2,
=(k
2+1)[(x
1+x
2)
2-4x
1•x
2]
=(k
2+1)(16k
2+16)
=16(k
2+1)
2,
∴MN=4(k
2+1),
分别取MN和M
1N
1的中点P,P
1,
PP
1=
(MM
1+NN
1)=
(y
1+1+y
2+1)=
(y
1+y
2)+1=
k(x
1+x
2)+2=2k
2+2,
∴PP
1=
MN,
即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半.
∴以MN为直径的圆与l相切.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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