已知abc均为非零自然数,满足b+c-a/a=c+a-b/b=a+b-c/c,求分式{a+b}{b+c}{c+a]/ab

题目

已知abc均为非零自然数,满足b+c-a/a=c+a-b/b=a+b-c/c,求分式{a+b}{b+c}{c+a]/ab

答案

设b+c-a/a=c+a-b/b=a+b-c/c =k,则
b+c-a=ak b+c=(1+k)a (1)
c+a-b=bk c+a=(1+k)b (2)
a+b-c=ck a+b=(1+k)c (3)
(1)+(2)+(3)得 （左边加上左边,右边加上右边）
2a+2b+2c=(1+k)(a+b+c)
∵abc均为非零自然数
∴a+b+c≠0
即 2(a+b+c)=(a+b+c)(1+k) 2=1+k k=1
故 b+c=2a c+a=2b a+b=2c
{a+b}{b+c}{c+a]/abc
=2c×2a×2b/abc
=8