在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB． （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）若BA•BC＝2，且b＝22，求a和c的值．

题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB-ccosB．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若

BA

•

BC

＝2，且b＝2

2

，求a和c的值．

答案

（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0...

（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．
（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a²+b²=12，再根据完全平方式易得a=c=

6

．

本题考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．

考点点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．