三阶方阵A=[a1,a2,a3],B=[3a3-a1,2a1-2a2,a2-a3],已知A的行列式等于4,求A+B的行列式

题目

三阶方阵A=[a1,a2,a3],B=[3a3-a1,2a1-2a2,a2-a3],已知A的行列式等于4,求A+B的行列式

答案

题设A为三阶方阵,故a1,a2,a3应为三维向量,
用|a1,a2,a3|表示A的行列式,则|a1,a2,a3|=4
A+B=[a1,a2,a3]+[3a3-a1,2a1-2a2,a2-a3]
=[3a3,2a1-a2,a2]
|A+B|=|3a3,2a1-a2,a2|,第二列加上第三列得
|A+B|=|3a3,2a1,a2|,一二列交换后,再将二三列交换得
|A+B|=|2a1,a2,3a3|,提出第一列的公因子2和第三列的公因子3得
|A+B|=6·|a1,a2,a3|=6·4=24