证明方程x^3-x-2=0在区间（0,2）至少有一个根

题目

证明方程x^3-x-2=0在区间（0,2）至少有一个根

答案

方法一：
设函数：f(x)=x^3-x-2,则f(0)=-2<0,f(2)=4>0,即f(0)*f(2)<0,由函数有根的充分条件知,f(x)在区间(0,2)上必与x轴有交点.
方法二：
设函数：f(x)=x^3-x-2,求导：f'(x)=3x^2-1.
另f'(x)=0,解得：x=√(1/3)（舍去负根）
当x>√（1/3)时,f'(x)>0,即函数单调递增,且f(2)>0；
当x=√(1/3)时,f(x)<0.
而在(0,2)的子区间(√(1/3),2)中,函数有x轴下方单调递增至x轴上方,故其必有交点.