证明设A为s×m矩阵,B为m×n矩阵,X为n维未知列向量,证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是

题目

证明设A为s×m矩阵,B为m×n矩阵,X为n维未知列向量,证明齐次线性方程组ABX=0与BX=0同解的充要条件是
AB与B有相同的秩,即r(AB)=r(B)

答案

证明:必要性因为ABX=0与BX=0同解所以它们的基础解系所含向量的个数相同所以 n-r(AB)=n-r(B)即有 r(AB)=r(B).充分性.易知 BX=0 的解都是 ABX=0 的解而BX=0的基础解系含n-r(B)个解向量ABX=0的基础解系含n-r(AB)=n-r(B)...