lim（x→ 0）(tanx-sinx)/xsinx^2

题目

lim（x→ 0）(tanx-sinx)/xsinx^2

答案

先等价无穷小代换：
lim（x→ 0）(tanx-sinx)/xsinx^2
=lim（x→ 0）(tanx-sinx)/ x^3
原式=lim (sin/cosx - sinx)/x³
= lim sinx(1-cosx)/(x³cosx)
注意 x与sinx是等价无穷小
1-cosx 与 x²/2是等价无穷小【1-cosx=2sin²（x/2）~2*（x/2）²=x²/2】
所以
原式= lim (x * x²/2)/(x³cosx)
=lim 1/(2cosx)
=1/2
也可以：
lim[x→0] (tanx-sinx)/x³
=lim[x→0] (sinx/cosx-sinx)/x³
=lim[x→0] (sinx-sinxcosx)/(x³cosx)
=lim[x→0] sinx(1-cosx)/(x³cosx)
=lim[x→0] sin³x(1-cosx)/(x³sin²xcosx)
=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/(sin²xcosx)
=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/[(1-cos²x)cosx]
=lim[x→0] (sinx/x)³·(1-cosx)/[(1+cosx)(1-cosx)cosx]
=lim[x→0] (sinx/x)³·1/[(1+cosx)cosx]
=1·1/(1+1)
=1/2