设a、b、c、d是正实数且满足a2+b2=c2+d2=1,ad=bc,求证:ac+bd=1.
题目
设a、b、c、d是正实数且满足a2+b2=c2+d2=1,ad=bc,求证:ac+bd=1.
答案
∵1=(a2+b2)(c2+d2)=(ac)2+a2×d2+b2×c2+(bd)2,
又∵ad=bc,
∴1=(ac)2+a2×d2+b2×c2+(bd)2
=(ac)2+2×a2×d2+(bd)2
=(ac)2+2acbd+(bd)2
∴1=(ac+bd)2
∵a,b,c,d>0,
∴ac+bd>0
∴ac+bd=1.
举一反三
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