已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25 及直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
题目
已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25 及直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4
(1)求证:直线l恒过定点;(2)判断直线l被圆C截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时m的值以及最短长度
答案
(1)直线的方程可以化简为:x+y-4+m(2x+y-7)=0
这表示过两直线x+y-4=0与2x+y-7=0交点的直线系;解方程组得交点为(3,1)
所以直线L:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4恒过定点(3,1)
(2)因为点(3,1)在已知圆的内部,所以当直线L过圆心时截得的弦为直径=10最大;
当直线L与取最大值时的直线垂直时截得的弦最短;由于圆心到定点的距离为√5
所以最短弦长=2√(25-5)=4√5
此时最长弦的斜率=(2-1)/(1-3)=-1/2
所以最短弦的斜率=2;所以 - (2m+1)/(m+1)=2 ; m=-3/4
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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