已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）．且当x＞0时，f（x）＜0恒成立，f（3）=-3． （1）证明：函数y=f（x）是R上的减函数； （2）证明

题目

已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）．且当x＞0时，f（x）＜0恒成立，f（3）=-3．
（1）证明：函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在[m，n]（m，n∈N^*）上的值域．

答案

证明：（1）设x₁＞x₂，则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＜0，
而f（a+b）=f（a）+f（b），
∴f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）
∴函数y=f（x）是R上的减函数；
（2）证明由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（x-x）=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=f（0），而令a=b=0可得f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），即函数y=f（x）是奇函数，
（3）由函数y=f（x）是R上的单调减函数，
∴y=f（x）在[m，n]上也为单调减函数．
∴y=f（x）在[m，n]上的最大值为f（m），最小值为f（n）．
∴f（n）=f[1+（n-1）]=f（1）+f（n-1）=2f（1）+f（n-2）═nf（1）．
同理，f（m）=mf（1）．
∵f（3）=-3，∴f（3）=3f（1）=-3．
∴f（1）=-1．∴f（m）=-m，f（n）=-n．
因此，函数y=f（x）在[m，n]上的值域为[-n，-m]．