已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点分别为F1,F2,设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,

题目

已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点分别为F1,F2,设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,
当圆M与椭圆的右准线L有公共点是,则△MF1F2面积的最大值为

答案

设M（x0,y0）,
x0²／4+y0²／3=1．
∵F1（-1,0）,a²／c=4,
∴直线l:x=4．
由于圆M与l有公共点,
M到l的距离4-x0小于或等于圆的半径R．
R²=MF1²=（x0+1）²+y0²,
（4-x0）²≤（x0+1）2+y0²,
y0²+10x0-15≥0．
∵y0²=3(1-x0²／4),
3-3x0²／4+10x0-15≥0．
∴4／3≤x0≤2．
当x0=4／3时,|y0|=√15／3,
(S△MF1F2)max=1／2×2×√15／3=√15／3．