已知点A（1,√2）是离心率为2分之√2的椭圆C：b2分之x2+a2分之y2=1（a＞b＞0）上的一点,斜率为√2的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点不重合

题目

已知点A（1,√2）是离心率为2分之√2的椭圆C：b2分之x2+a2分之y2=1（a＞b＞0）上的一点,斜率为√2的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点不重合
（1）求椭圆C的方程
（2）△ABC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值；若不存在,请说明理由?
（3）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值

答案

依题设,得 e=c/a=√2/2 a²=b²+c² 即 b²=c²=a²/2
点A在椭圆C上,则 1/b²+2/a²=1 ∴ a²=4 b²=2
椭圆C的方程为x²/2+y²/4=1

设直线BD的方程为y=√2x+m,代入椭圆方程并化简
则 4x²+2√2mx+m²-4=0 ① (设x1,x2为方程①两根)
BD=√[1+(√2)²]|x1-x2| A到BD的距离d=m/√[1+(√2)²]
S△ABD=BD*d/2(应该是△ABD,不是△ABC吧)
求出m即可.
证明：