设a,b为正实数,且a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2

题目

设a,b为正实数,且a+b=1,求证(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥25/2

答案

a+b=1
(a+b)^=1
a^+2ab+b^=1
(a-b)^-4ab=1
4ab=1-(a-b)^4 (ab为正实数）
a^+b^=1-2ab>=1+2*(-1/4)=1/2
(a+1/a)^+(b+1/b)^
=a^+2+1/a^+b^+2+1/b^
=(a^+b^)+(a^+b^)/(ab)^+4
>=1/2+1/2*(1/ab)^+4
>=1/2+1/2*4^+4=25/2
所以(a+1/a)^+(b+1/b)^≥25/2 （^表示平方)