数列{an}中,a1=2/3,an+1=an/(1+3an) (n∈N) （1）计算a2,a3,a4 （2）猜测an并用数学归纳法证明

题目

数列{an}中,a1=2/3,an+1=an/(1+3an) (n∈N) （1）计算a2,a3,a4 （2）猜测an并用数学归纳法证明
（3）设Sn=1/a1+1/a2+...+1/an,求lim（n²/Sn）n趋于无穷大

答案

a1=2/3a2=2/9a3=2/15a4=2/21（2）猜测：an=2/[3*(2n-1)]证明：当n=1时：a1=2/(3*1)=2/3符合假设n=k时成立则ak+1=ak/(1+3ak)=[2/(6k-3)]/[1+2/(2k-1)]=2/[3*(2k+1)]成立故an=2/[3*(2n-1)]（3）1/an=3n-1/2Sn=3*n(n+1)...