已知数列｛an｝满足a1＝1,a（n+1）＝an+（1╱n（n+1））（n∈N）（1）求a2,a3,a4（2）推测数列an的通项公式并验证

题目

已知数列｛an｝满足a1＝1,a（n+1）＝an+（1╱n（n+1））（n∈N）（1）求a2,a3,a4（2）推测数列an的通项公式并验证

答案

第一问
a2=a1+1/2=1+1/2=3/2
a3=a2+1/6=3/2+1/6=5/3
a4=a3+1/12=5/3+1/12=7/4
第二问
因为a(n+1)=an+1/[n(n+1)]
所以a(n+1)-an=1/n-1/(n+1)
a2-a1=1/1-1/2
a3-a2=1/2-1/3
a4-a3=1/3-1/4
…
an-a(n-1)=1/(n-1)-1/n
将上列等式两边相加可得
an-a1=1-1/n
an-1=1-1/n
an=2-1/n
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