(1)因为
>0,解之得x<-b或x>b,
∴函数的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞).…(3分)
(2)由(1)得f(x)的定义域是关于原点对称的区间
f(-x)=log
a=log
a,
∵-f(x)=log
a()
-1=log
a,
∴f(-x)=-f(x),可得f(x)为奇函数.…(6分)
(3)证明:设b<x
1<x
2,则
f(x
1)-f(x
2)=log
a,
∵
-1=
>0
∴当a>1时,f(x
1)-f(x
2)>0,可得f(x
1)>f(x
2),f(x)在(b,+∞)上为减函数;
当0<a<1时,f(x
1)-f(x
2)<0,可得f(x
1)<f(x
2),f(x)在(b,+∞)上为增函数.
同理可得:当a>1时,f(x)在(-∞,-b)上为减函数;当0<a<1时,f(x)在(-∞,-b)上为增函数.
综上所述,当a>1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上为减函数;当0<a<1时,f(x)在(-∞,-b)和(b,+∞)上为增函数.…(12分)