设g（x）=3x2-2x+1，f（x）=x3-3x2-x-1，求用g（x）去除f（x）所得的商q（x）及余式r（x）．

题目

设g（x）=3x²-2x+1，f（x）=x³-3x²-x-1，求用g（x）去除f（x）所得的商q（x）及余式r（x）．

答案

由于f（x）为3次多项式，首项系数为1，而g（x）为2次，首项系数为3，故商q（x）必为1次，首项的系数必为

1

3

，而余式次数小于2，于是可设商式q（x）=

1

3

+a，余式r（x）=bx+c．
根据f（x）=q（x）g（x）+r（x），得
x³-3x²-x-1=（3x²-2x+1）（

1

3

x+a）+（bx+c）=x³+（3a-

2

3

）x²+（b-2a+

1

3

）+（a+c）
比较两端系数，得

3a− 2 3 ＝− 3 b−2a+ 1 3 ＝− a+c＝−1

1，
解得a=-

7

9

，b=-

26

9

，c=-

2

9

，故商式q（x）=

1

3

x-

7

9

，余式r（x）=-

26

9

x-

2

9

．

设商式q（x）=

1

3

+a，余式r（x）=bx+c，根据f（x）=q（x）g（x）+r（x），得到一个恒等式，比较两端的系数，即可求出系数a、b、c．

本题考点：带余除法．

考点点评：本题主要考查带余数除法的知识点，本题主要利用待定系数法求商式和余式，此题难度较大．