已知函数f(x)=(x平方+2x+a)/x,x∈[1,正无穷),

题目

已知函数f(x)=(x平方+2x+a)/x,x∈[1,正无穷),
（1）当a=1/2时,求函数f(x)的最小值
（2）若对任意x∈[1,正无穷),f(x)＞0恒成立,试求实数a的取值范围.

答案

由原方程可化为f(x)=（(x+1）的平方）+a-1
所以方程的对称轴为x=-1,即x=-1时f(x)最小
x=-1向两边递增
（1）因为x∈[1,正无穷),所以当x=1时,f(x)为最小值3.5
（2）因为x∈[1,正无穷),所以当x=1时,f(x)为最小值
由f(x)=（(x+1）的平方）+a-1
所以,令f(1)＞0
则a＞-3
所以当a＞-3时,f(x)＞0恒成立