A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA垂直OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值

题目

A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA垂直OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值

答案

设A(tcosθ,tsinθ).因为OA垂直于OB,故B(rcos(90度+θ),rsin(90度+θ)).其中OA=t,OB=r,OA与x轴正向所成的角为θ,因为A、B两点都在椭圆上,所以这两点的坐标满足椭圆方程.
将坐标代入并化简得：
1/OA^2+1/OB^2=1/t^2+(1/r^2)=(b^2+a^2)/(a^2*b^2)=(定值)
其实这既可以说是圆的参数“表达式”,又可以说是初中阶段所学过的“图形与坐标”,但不是“椭圆的参数方程”,倒有一点类似于“直线方程的参数式”.但这样做是没有任何问题的,而且过程特别简捷.这样说,你能理解吗?