证明：正三棱柱的两个侧面的对角线互相垂直的充分必要条件是,底面边长与侧棱长之比为：根号2比1

题目

证明：正三棱柱的两个侧面的对角线互相垂直的充分必要条件是,底面边长与侧棱长之比为：根号2比1

答案

没有图片,完全靠想象来的,将就看看下面的解释吧,顺便锻炼锻炼你的想象力,
设正三棱柱为的上下底面分别为△ABC和△A'B'C'（各点对应）,要证明AB'⊥BC'的充要条件是AB：AA = √2:1 .这样理解的话,应该是异面垂直.想办法把两条线搞到一个面上就好办多了.
延长A'B'至D',使得A'B' = B'D',连接BD',则BD'‖AB'.再连接C'D',那么原问题就转化为在△BC'D'中证明BD'⊥BC'了.（最好边看边画图,容易理解些……）
充分条件容易证明些：设AA'=BB'=CC'=1,上下底面边长均为√2,那么侧面对角线长就都是√3.这样,要求BD'⊥BC',那么C'D'就必须是√6了（勾股定理的逆定理）.而在△A'C'D'中,容易验证A'C'⊥C'D',这样用勾股定理可以求出C'D'确实是√6（或者直接运用余弦定理也可以）.这样,BD'⊥BC',于是,AB'⊥BC'.充分性得证.
必要性的话,其实也可以用上面的方法了：就是设棱长为1,底面边长为x,这样一路算下来,得到侧面的对角线长为√（1+x²）,C'D'为√3*x,那么要求△BC'D'为直角三角形,还是应用勾股定理的逆定理,列方程可解出：x = √2（负值舍去）,这样必要性得证.
异面垂直的证法经常用的还有证明其中一条线垂直于另一条线所在的平面,不过这道题这么着平移其中一条线就OK了,所以就简单点这么做了.
好好学习,天天向上哈!