已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）． （Ⅰ）证明数列{an+1-an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记bn＝2(an−1)an

题目

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b

答案

（I）∵a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2）
∴（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵a₁=2，a₂=4∴a₂-a₁=2≠0，∴a_n+1-a_n≠0
故数列{a_n+1-a_n}是公比为2的等比数列
∴a_n+1-a_n=（a₂-a₁）2^n-1=2ⁿ
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+（a_n-2-a_n-3）++（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+2^n-3++2¹+2
=

2(1−2n−1)

1−2

+2=2ⁿ（n≥2）
又a₁=2满足上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（II）由（I）知bn＝

2(an−1)

an

＝2(1−

1

an

)=2(1−

1

2n

)＝2−

1

2n−1

∴Sn＝2n−(1+

1

21

+

1

22

++

1

2n−1

)
=2n−

1− 1 2n

1− 1 2

=2n−2(1−

1

2n

)
=2n−2+

1

2n−1

由S_n＞2010得：2n−2+

1

2n−1

＞2010，
即n+

1

2n

＞1006，因为n为正整数，所以n的最小值为1006