已知定义在R上函数f（x）是奇函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），则f（2012）=（　　） A.2 B.-2 C.4 D.0

题目

已知定义在R上函数f（x）是奇函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），则f（2012）=（　　）
A. 2
B. -2
C. 4
D. 0

答案

∵f（x）是奇函数，f（2+x）=-f（2-x），
∴f（2+x）=f（x-2），
∴f[2+（2+x）]=f[（2+x）-2]=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
又f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴f（2012）=f（4×503+0）
=f（0）
=0，
故选D．