已知复数z1,z2满足z1z2+2i(z1-z2)+1=0,且|z1|=√3,求|z2-4i|

题目

已知复数z1,z2满足z1z2+2i(z1-z2)+1=0,且|z1|=√3,求|z2-4i|

答案

(z2)'表示下z2的共轭复数
z1z2+2i(z1-z2)+1=0
即 z1=(2iz2-1)/(z2+2i)
两边取模得
|z1|=|2iz2-1|/|z2+2i|=√3
即（2iz2-1)*(2iz2-1)'=3(z2+2i)*(z2+2i)'
化简得
（2iz2-1)[-2i(z2)'-1]=3(z2+2i)*[(z2)'-2i]
4|z2|^2+2i(z2)'-2iz2+1=3|z2|^2+6i(z2)'-6iz2+12
|z2|^2-4i(z2)'+4iz2-11=0
|z2-4i|=√[(z2-4i)(z2-4i)']=√[(z2-4i)((z2)'+4i)]=√[|z2|^2-4i(z2)'+4iz2+16]=√(11+16)=3√3