已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1/2，则不等式f（x）＜x/2+1/2的解集为 _ ．

题目

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

答案

根据题意，设g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）在R上是单调减函数；
又∵g（1）=f（1）-（

1

2

+

1

2

）=0，
∴当x＞1时，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜

1

2

x+

1

2

在x＞1时恒成立，
∴原不等式的解集是（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．