设F1 F2分别是椭圆x^2/9+y^2/4=1的左右焦点.若点p在椭圆上,且|向量PF1+PF2|=2√5

题目

设F1 F2分别是椭圆x^2/9+y^2/4=1的左右焦点.若点p在椭圆上,且|向量PF1+PF2|=2√5
则向量PF1与向量PF2的夹角的大小为?

答案

c^2=a^2-b^2=5,c=√5
F1(-√5,0),F2(√5,0)
设P(m,n),则PF1=(-√5-m,-n),PF2=(√5-m,-n).
|PF1+PF2|=|（-2m,-2n）|=2|(m,n)|=2√(m^2+n^2)=2√5
即m^2+n^2=5.
又P在椭圆上,有m^2/9+n^2/4=1
解之：m^2=9/5,n^2=16/5.
m=±3/√5,n=±4/√5.
取P(3/√5,4/√5).
所以PF1·PF2=（-√5-3/√5,-4/√5）（√5-3/√5,-4/√5）=9/5-5+16/5=0
所以PF1⊥PF2.