F1,F2是椭圆x^2/2+y^2=1的左右焦点,直线L：x=-1/2 设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交与P,Q两点

题目

F1,F2是椭圆x^2/2+y^2=1的左右焦点,直线L：x=-1/2 设A,B是C上的两个动点,线段AB的中垂线与C交与P,Q两点
线段AB的中点M在直线L上.求向量F2P*向量F2Q的取值范围

答案

设A,B坐标为A(xa,ya)、B(xb,yb),由于A、B位于椭圆C上因此满足：
xa²/2 + ya² =1 ------------------------------- (1)
xb²/2 + yb² =1 ----------------------------- (2)
(1) - (2) 得到
xa² - xb² = -2(ya² - yb²)
==> (xa -xb)/(ya-yb) = -2(ya+yb)/(xa+xb)----- (3)
由于A,B 中点M在 x=-1/2 可知AB的斜率不可能为0,且有
(xa+xb)/2 =-1/2 ==> xa+xb=-1
设AB 斜率为 1/k,则AB中垂线斜率为-k,(3)式化为：
k=(xa-xb)/(ya-yb) = 2(ya+yb)
==> (ya+yb)/2 = k/4
因此 AB中点M的坐标为 M(-1/2,k/4)；
由于A,B是椭圆上的点,且M点在x=-1/2上,因此M点纵坐标取值范围在 x=-1/2 与椭圆两个交点之间,两交点纵坐标为：
y = ±√(1-x²/2) = ±√14/4
因此有：
-√14/4 ≦k/4 ≦√14/4
==> -√14 ≦k ≦√14
AB中垂线PQ过M点,其方程为：
y - k/4 = -k(x+1/2) ==> y = -k(x+1/4) (-√14≦k≦√14) --- (4)
代入椭圆方程整理得：
(2k²+1)x² +k²x +(k²/8-2) =0
方程的两个根x1,x2就是P,Q两点的横坐标,有：
x1 + x2 = -k²/(2k²+1) ----------------------------- (5)
x1*x2=(k²/8-2)/(2k²+1) --------------------------- (6)
由椭圆方程可知椭圆焦距 c = √(2-1) =1,因此焦点F2坐标为 F2(1,0)
F2P*F2Q = (x1-1,y1)*(x2-1,y2)
= (x1-1)*(x2-1) + y1*y2
= (x1-1)*(x2-1) + k²*(x1+1/4)*(x2+1/4)
= (k²+1)*x1*x2 + (k²/4 -1)*(x1+x2) + k²/16 ---- (7)
将(5)(6)代入(7)式,整理得：
F2P*F2Q = (k²+1)* (k²/8-2)/(2k²+1) - (k²/4 -1)*k²/(2k²+1) + k²/16
= -13/32 – 51/[32(2k²+1)]
由于-√14≦k≦√14,有：
当 k=0时 最小值 = -2
当 k=±√14,最大值 = -107/232
因此向量F2P、F2Q的数量积的取值范围是 [-2,-107/232]