已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n/2(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)若bn=n/an求数列{bn}的前n项和Sn.
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已知数列an满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=n/2(n∈N*). (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)若bn=n/an求数列{bn}的前n项和Sn.
题目
已知数列a
n
满足a
1
+2a
2
+2
2
a
3
+…+2
n-1
a
n
=
n
2
答案
(Ⅰ)n=1时,a
1
=
1
2
∵a
1
+2a
2
+2
2
a
3
+…+2
n-1
a
n
=
n
2
…..(1)
∴n≥2时,a
1
+2a
2
+2
2
a
3
+…+2
n-2
a
n
=
n−1
2
….(2)
(1)-(2)得
2
n−1
a
n
=
1
2
即
a
n
=
1
2
n
又
a
1
=
1
2
也适合上式,∴
a
n
=
1
2
n
(Ⅱ)
b
n
=n•
2
n
,∴
S
n
=1•2+2•
2
2
+3•
2
3
+…+n•
2
n
(3)
2
S
n
=1•
2
2
+2•
2
3
+…+(n−1)•
2
n
+n•
2
n+1
(4)
(3)-(4)可得-S
n
=1•2+1•2
2
+1•2
3
+…+1•2
n
-n•2
n+1
=
2(1−
2
n
)
1−2
−n•
2
n+1
=
2
n+1
−2−n•
2
n+1
∴
S
n
=(n−1)
•2
n+1
+2
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